ARTIGO ORIGINAL
Relação entre prevalência, incidência e duração média da doença
Relation between prevalence, incidence and average duration of disease
Antonio Ruffino Netto
Do Departamento de Medicina Social da Faculdade de Medicina de Ribeirão Preto da USP. Ribeirão Preto, SP Brasil
RESUMO
Foi apresentada uma demonstração da fórmula Pt = I d onde P t = prevalência instantânea; I = Incidência; e d duração média da doença para a situação de estabilidade de doença.
Unitermos: Epidemiologia (Métodos quantitativos) *; Prevalência *; Incidência *.
SUMMARY
A derivation of the relation Pt = I.d where: Pt = pointprevalence; I = incidence; d = average durantion of disease is presented given the disease is stable, that is, the incidence and duration remained constant over time.
Uniterms: Epidemiology (quantitative methods)*; Prevalence*; Incidence *.
INTRODUÇÃO
É conhecido da literatura epidemiológica que a prevalência instantânea (Pt)de uma doença é uma função da incidência (I) e da duração média (d) desta doença 1.
Assim, variação na prevalência poderia ser o resultado de variações na incidência e/ou na duração média.
Chama-se condições de equilíbrio ou de estabilidade de uma doença, a situação em que a incidência e a duração média permanecem constantes com o tempo. Evidentemente, uma doença somente atingiria uma perfeita condição de estabilidade em uma situação teórica de constância das variáveis incidência e duração média.
MACMAHON & PUGH 1. e TAYLOR & KNOWELDEN2 têm apresentado empiricamente a fórmula,
onde
Pt = prevalência instantânea
I = incidência
= duração média, medida na mesma unidade de tempo utilizada na especificação da incidência
fórmula esta que somente seria válida na situação teórica de estabilidade da doença.
O fato de não encontrarmos na literatura demonstração alguma desta fórmula empírica, motivou-nos a pensar num modelo que nos possibilitasse demonstrar matematicamente a relação Pt = I. d
2. MODELO
Suponhamos N indivíduos (I1 ,I2, I3, . . . IN ) expostos ao risco de adquirir a doença D, no intervalo de tempo Dt = t2 tx (medidos em unidades arbitrárias de tempo = U):
Seja n (onde n < N) o número dos indivíduos que adquiriram a doença dentro do intervalo Dt e permaneceram doentes respectivamente d1 d2, d3 . . . dn unidades de tempo U (ou seja, medidos nas mesmas unidades de tempo de Dt).
Seja:
P1 a prevalência instantânea no tempo t1
P2 a prevalência instantânea no tempo t2
Pm a prevalência média num intervalo de tempo qualquer t
Se d t = Dt, a prevalência média no intervalo de tempo será calculada por definição
I = a incidência no intervalo de tempo Dt, que será calculada por definição
Pt = a prevalência instantânea em qualquer ponto t no intervalo Dt
di = duração da doença no indivíduo doente.
3. SOLUÇÕES
1.aSolução Supondo o intervalo de tempo d t e que fosse definido por 
e que somente uma pessoa tivesse ficado doente durante todo esse período, a prevalência média em d t seria portanto:
No caso particular de d t ser igual a Dt, a prevalência média em Dt será dada por
onde a razão entre os tempos na fórmula (2), ou seja 
equivale ao número de indivíduos doentes durante todo o intervalo Dt.
Assim teremos:
Lembrando que
(4) em (3) resulta
Dada a condição de estabilidade da doença, isto é, a incidência e duração permanecerem constante com o tempo, podemos tirar:
a) Para efeito de computação de Pm no período Dt é válido tomar 
di mesmo que o 
indivíduo ultrapasse o limite de tempo t2, pois será compensado pelo indivíduo número zero que já entrou doente no intervalo Dt.
b) A prevalência média no período Dt será igual a prevalência instantânea P1 , P2 ou Pt , ou seja:
Lembrando (7) 
2.a Solução
O tempo total T que representa indivíduos-unidades de tempo U de doença no intervalo de tempo Dt poderá ser obtido a partir dos casos, isto é:
Por outro lado, o mesmo valor de T poderá ser obtido a partir da integração da prevalência instantânea no intervalo Dt , ou seja:
Lembrando da condição de estabilidade da doença, portanto Pt é constante, podemos escrever
Sendo (11) = (9), podemos escrever
Resolvendo a integral e (4) ® (12) resulta
Sendo t2 t1 = Dt, tiramos
4. CONCLUSÃO
Utilizando-se o modelo proposto, na condição de estabilidade da doença é possível demonstrar-se matematicamente a fórmula empírica 
AGRADECIMENTOS
Ao Dr. Emilio C. Venezian, pelas sugestões dadas para a segunda solução do modelo que apresentamos e ao Dr. Euclydes Custódio de Lima Filho, pelas suas sugestões.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. MACMAHON, B. & PUGH, T. F. Epidemiology: principles and methods. Boston, Little, Brown Co., 1970.
2. TAYLOR, I. & KNOWELDEN, J. Principles of epidemiology. London, Churchill Ltd., 1957.
Recebido para publicação em 1.°-8-1973
Aprovado para publicação em 9-10-1973
Trabalho desenvolvido durante período de estágio na Harvard School of Public Health Boston Mass., através de bolsa da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP)